题目内容

已知抛物线．

(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

【解】 (1)====，∵不管m为何实数，总有≥0，∴=＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

 (2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴，

抛物线的解析式为=，顶点C坐标为（3，－2），

解方程组，解得或，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），∵时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设抛物线的对称轴与轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，

①     假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形．

②     (Ⅰ)设直线CD向右平移个单位（＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M（3，2），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，

∴N坐标为（3，），

又N在抛物线上，∴，

解得（不合题意，舍去），，

（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，

∴N坐标为（3，），

又N在抛物线上，∴，

解得（不合题意，舍去），，

(Ⅱ) 设直线CD向左平移个单位（＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M（3，2），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，

∴N坐标为（3，），

又N在抛物线上，∴，

解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），

（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，

∴N坐标为（3，），

又N在抛物线上，∴，

解得，（不合题意，舍去），

综上所述，直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

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