Question

已知如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，BD=b，CD=c，且∠DBC=∠A；
求证：方程ax²+2bx+c=0有两个相等的实数根．

Answer 1

证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD．
又∵∠DBC=∠A，
∴△ABD∽△BDC，
∴=，即=，
∴b²=ac，即b²-ac=0．
∵方程ax²+2bx+c=0的根的判别式△=4b²-4ac=4a（b²-ac）=0，
∴方程ax²+2bx+c=0有两个相等的实数根．
分析：由相似三角形△ABD∽△BDC的对应边成比例知b²=ac．则方程ax²+2bx+c=0的根的判别式△=0，即方程ax²+2bx+c=0有两个相等的实数根．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、根的判别式．在利用相似三角形的相似边成比例时，一定要找准对应边．