Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于图形，若存在一个正方形，这个正方形的某条边与轴垂直，且图形上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形为图形的一个正覆盖．很显然，如果图形存在一个正覆盖，则它的正覆盖有无数个，我们将图形的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形的正覆盖，其中正方形就是图形的紧覆盖．
（1）对于半径为2的，它的紧覆盖的边长为____.

（2）如图1，点为直线上一动点，若线段的紧覆盖的边长为，求点 的坐标．
（3）如图2，直线与轴，轴分别交于
①以为圆心，为半径的与线段有公共点，且由与线段组成的图形的紧覆益的边长小于，直接写出的取值范围；
②若在抛物线 上存在点，使得的紧覆益的边长为，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）（，2）或（2，-1）；（3）①≤r＜1；②a≥或a≤-2．

【解析】

（1）由题意半径为2的⊙O的外切正方形是半径为2的⊙O紧覆盖，由此即可解决问题；
（2）由题意当点P到坐标轴的距离等于2时，线段OP的紧覆盖的正方形的边长为2．分两种情形分别求解即可；
（3）①如图2中，作OH⊥AB于H．利用两种特殊位置解决问题即可；
②如图2-1中，由题意当抛物线与图中矩形EFGH区域有交点时，在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3；

（1）由题意半径为2的⊙O的外切正方形是半径为2的⊙O紧覆盖，
∴紧覆盖的边长为4，
故答案为4．
（2）由题意当点P到坐标轴的距离等于2时，线段OP的紧覆盖的边长为2．

①当点P在第一象限时，作PH⊥x轴于H则PH=2，
y=2时，2=-2x+3，
x=，
∴P（，2）．
②当点P′在第三象限时，作P′H′⊥y轴，则P′H′=2，
当x=2时，y=-1，
∴P′（2，-1）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（，2）或（2，-1）．
（3）①如图2中，作OH⊥AB于H．

由题意A（-1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3，AB=，
∵OAOB=ABOH，
∴OH=，
当⊙O经过点A时，r=1，此时由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长为4，
观察图象可知满足条件的r的范围为：≤r＜1．
②如图2-1中，如图由题意当抛物线与图中矩形EFGH区域有交点时，在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3．

由题意E（-3，3），F（-3，0），G（2，0），H（2，3）．
当抛物线经过点G时，4a+4a-2=0，
∴a=，
∵抛物线的对称轴x=-1，经过（0，-2），
观察图象可知，当a≥时，在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3．
当a＜0时，抛物线经过点A时，解析式为y=-2（x+1）2，
观察图象可知，当a≤-2时，在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3．
综上所述，满足条件的a的值为a≥或a≤-2．