Question

如图，反比例函数y=

k

x

与一次函数y=mx-3交于A、B两点，y=mx-3与x、y轴分别交于C、D两点．OC的长为4，作BE⊥x轴，

OD

EB

=

3

5

，求反比例函数的解析式和A、B的坐标．

Answer 1

分析：由OC的长确定出C的坐标，代入一次函数解析式求出m的值，确定出一次函数解析式，由两对对应角相等的三角形相似的三角形COD与三角形CEB相似，由相似得比例，求出CE的长，由CE-OC求出OE的长，确定出E的坐标，得出B的横坐标，代入一次函数解析式求出y的值，确定出B坐标，将B坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，联立两函数解析式，即可求出A的坐标．

解答：解：由OC=4，得到C（-4，0），
将C坐标代入y=mx-3中得：-4m-3=0，
解得：m=-

3

4

，
∴一次函数解析式为y=-

3

4

x-3，
∵∠COD=∠CEB=90°，∠OCD=∠ECB，
∴△COD∽△CEB，
∴

OC

CE

=

OD

EB

，即

4

CE

=

3

5

，
∴CE=

20

3

，OE=CE-OC=

20

3

-4=

8

3

，
∴E（

8

3

，0），即B横坐标为

8

3

，
将x=

8

3

代入一次函数解析式得：y=-2-3=-5，
∴B（

8

3

，-5），
将B坐标代入反比例解析式中得：k=-

40

3

，
则反比例解析式为y=-

40

3x

，
联立一次函数与反比例解析式得：

y=- 3 4 x-3 y=- 40 3x

，
解得：

x= 8 3 y=-5

或

x=- 20 3 y=2

，
则A（-

20

3

，2）．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．