题目内容
5．在同一平面内，三条直线两两分别相交于点A、B、C三点，点E是直线BC上一动点（点E不与点B、C重合），过点E分别作直线AB、AC的平行线，分别交直线AC、AB于点F、D．①
（1）如图1，当点E在B、C两点之间时，求证：∠DEF=∠BAC；
（2）如图2，当点E在线段BC延长线时，试判断∠DEF与∠BAC的数量关系；
（3）如图3，点E在线段CB延长线时，∠BEF的平分线交直线AB于G，过点E作EG的垂线．交直线AB于M，点N在FE延长线上；若∠ABC=80°，∠DEM：∠BED=2：3，求∠BAC的度数．
分析 （1）先根据AB∥EF得出∠BAC=∠EFC，再由AC∥DE得出∠DEF=∠EFC，进而可得出结论；
（2）先根据AC∥DE得出∠BAC=∠ADE，再由AB∥EF可知∠ADE+∠DEF=180°，进而可得出结论；
（3）先根据AB∥EF可知∠FEC=∠ABC，∠BAC=∠EFC．根据角平分线的性质得出∠GEC=∠FEC，由垂直的定义可知∠GEM=90°，故可得出∠CEM的度数．再根据∠DEM：∠BED=2：3得出∠BED的度数，故可得出∠FED的度数，再由AC∥DE可得出结论．
解答 （1）证明：∵AB∥EF，
∴∠BAC=∠EFC．
又∵AC∥DE，
∴∠DEF=∠EFC，
∴∠BAC=∠DEF；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠BAC=∠ADE．
∵AB∥EF，
∴∠ADE+∠DEF=180°，
∴∠BAC+∠DEF=180°；
（3）解：∵AB∥EF，
∴∠FEC=∠ABC=80°，∠BAC=∠EFC．
∵EG平分∠FEC，
∴∠GEC=∠FEC=$\frac{1}{2}$×80°=40°．
∵EG⊥EM，
∴∠GEM=90°，
∴∠CEM=∠GEM-∠GEC=50°．
又∵∠DEM：∠BED=2：3，
∴∠BED=30°，
∴∠FED=∠FEC+∠CED=80°+30°=110°．
∵AC∥DE，
∴∠FED+∠EFC=180°，
∴∠EFC=70°，
∴∠BAC=∠EFC=70°．
点评 本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
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