Question

如图，大圆O的直径AB=24cm，分别以OA、OB为直径作⊙O₁和⊙O₂，并在圆⊙O₁和⊙O₂的空隙间作两个等圆⊙O₃和⊙O₄．这些圆互相内切或外切，则四边形O₁O₄O₂O₃的面积为________cm²．

Answer 1

96
分析：连接O₁O₃，O₂O₃，O₂O₄，O₁O₄，O₃O，根据相切两圆的性质得出O₁O₃=O₂O₃=O₂O₄=O₁O₄，得出菱形O₁O₄O₂O₃，推出O₃O₄⊥O₁O₂，O₃O=O₄O，求出O₁O₂=12，OO₁=6，设⊙O₃的半径是x，则O₁O₃=6+x，OO₃=12-x，在Rt△OO₁O₃中，由勾股定理得出方程（6+x）²=6²+（12-x）²，求出x，根据图形得出四边形O₁O₄O₂O₃的面积为2个△O₁O3O₂的面积，求出△O₁O₂O₃的面积即可．
解答：
连接O₁O₃，O₂O₃，O₂O₄，O₁O₄，O₃O，
∵根据相切两圆的性质得：O₁O₃=O₂O₃=O₂O₄=O₁O₄，
∴四边形O₁O₄O₂O₃是菱形，
∴O₃O₄⊥O₁O₂，O₃O=O₄O，
∵AB=24，
∴O₁O₂=AB=12，OO₁=AB=6，
设⊙O₃的半径是x，则O₁O₃=6+x，OO₃=12-x，
在Rt△OO₁O₃中，由勾股定理得：（6+x）²=6²+（12-x）²，
解得：x=4，
故四边形O₁O₄O₂O₃的面积为2个△O₁O3O₂的面积，是2××12×（12-4）=96，
故答案为：96．
点评：本题考查了菱形的性质和判定，三角形的面积．相切两圆的性质等知识的，题目综合性比较强，难度偏大，解此题的关键是得出四边形O₁O₃O₂O₄是菱形和求出⊙O₃的半径．