题目内容

如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE．过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．

(1)求证：△PBE∽△QAB；

(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；

(3)如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？

答案：
解析：

　　(1)证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，

　　∠PBE＋∠PEB＝90°，

　　∴∠ABQ＝∠PEB．

　　又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，

　　∴△PBE∽△QAB．……3分

　　(2)∵△PBE∽△QAB，

　　∴

　　∵BQ＝PB，

　　∴

　　又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE∽△BAE．……7分

　　(3)点A能叠在直线EC上．

　　由(2)得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和折痕AE重合．……10分


练习册系列答案
相关题目
取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得 Rt△AB′E，如图（2）所示；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．
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探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
（3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k （k＜0）
①问：EF与抛物线y=-
1
8
x2 有几个公共点？
②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求
x
y
 的值．
根据所给的基本材料，请你进行适当的处理，编写一道综合题．
编写要求：①提出具有综合性、连续性的三个问题；②给出正确的解答过程；③写出编写意图和学生答题情况的预测．
材料①：如图，先把一矩形纸片ABCD对折，得到折痕MN，然后把B点叠在折痕线上，得到△ABE，再过点B把矩形ABCD第三次折叠，使点D落在直线AD上，得到折痕PQ．当沿着BE第四次将该纸片折叠后，点A就会落在EC上．
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材料②：已知AC是∠MAN的平分线．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
则AB+AD=
 
AC（用含α的三角函数表示）．
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材料③：
已知：如图甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，设运动的时间为t（s）（0＜t＜2）．
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编写试题选取的材料是
 
（填写材料的序号）
编写的试题是：（1）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值．
（3）如图（2），连接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C．是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长．
试题解答（写出主要步骤即可）：（1）过点Q作QD⊥AP于点D，证△AQD∽△ABC，利用相似性质及面积解答；
（2）分别求得Rt△ACB的周长和面积，由周长求出t，代入函数解析式验证；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，联立方程，求得t，再代入PC解得答案．
取一张矩形纸进行折叠．具体操作如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′得Rt△AB′E，如图（2）所示；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，点A在直线EC上，如图（3）所示．
利用展开图（4）探究：
（1）找出图中的全等三角形；
（2）△AEF是什么三角形并证明你的结论．
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根据所给的基本材料，请你进行适当的处理，编写一道综合题．
编写要求：①提出具有综合性、连续性的三个问题；②给出正确的解答过程；③写出编写意图和学生答题情况的预测．
材料①：如图，先把一矩形纸片ABCD对折，得到折痕MN，然后把B点叠在折痕线上，得到△ABE，再过点B把矩形ABCD第三次折叠，使点D落在直线AD上，得到折痕PQ．当沿着BE第四次将该纸片折叠后，点A就会落在EC上．

材料②：已知AC是∠MAN的平分线．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
则AB+AD=______AC（用含α的三角函数表示）．

材料③：
已知：如图甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，设运动的时间为t（s）（0＜t＜2）．

编写试题选取的材料是______（填写材料的序号）
编写的试题是：（1）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值．
（3）如图（2），连接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C．是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长．
试题解答（写出主要步骤即可）：（1）过点Q作QD⊥AP于点D，证△AQD∽△ABC，利用相似性质及面积解答；
（2）分别求得Rt△ACB的周长和面积，由周长求出t，代入函数解析式验证；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，联立方程，求得t，再代入PC解得答案．
根据所给的基本材料，请你进行适当的处理，编写一道综合题．
编写要求：①提出具有综合性、连续性的三个问题；②给出正确的解答过程；③写出编写意图和学生答题情况的预测．
材料①：如图，先把一矩形纸片ABCD对折，得到折痕MN，然后把B点叠在折痕线上，得到△ABE，再过点B把矩形ABCD第三次折叠，使点D落在直线AD上，得到折痕PQ．当沿着BE第四次将该纸片折叠后，点A就会落在EC上．

材料②：已知AC是∠MAN的平分线．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
则AB+AD=______AC（用含α的三角函数表示）．

材料③：
已知：如图甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，设运动的时间为t（s）（0＜t＜2）．

编写试题选取的材料是______（填写材料的序号）
编写的试题是：（1）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值．
（3）如图（2），连接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C．是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长．
试题解答（写出主要步骤即可）：（1）过点Q作QD⊥AP于点D，证△AQD∽△ABC，利用相似性质及面积解答；
（2）分别求得Rt△ACB的周长和面积，由周长求出t，代入函数解析式验证；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，联立方程，求得t，再代入PC解得答案．

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