Question

类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

（1）概念理解

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.

（2）问题探究

    ①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。

    ②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿

∠ABC的平分线BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？

（3）应用拓展

    如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，AC=AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.

 

 

Answer 1

解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；

（2）①正确，理由为：

∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，

∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，

∴这个“等邻边四边形”是菱形；

 

②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，

∴AC=，

∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，

（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；

（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；

（III）当A′C′=BC′=时，

如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′=∠ABC=45°，

∴∠BB′D=′∠ABB′=45°，

∴B′D=B，

设B′D=BD=x，

则C′D=x+1，BB′=x，

∵在Rt△BC′D中，BD²+（C′D）²=（BC′）²

∴x²+（x+1）²=（）²，

解得：x₁=1，x₂₌﹣2（不合题意，舍去），

∴BB′=x=，

（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，

与（Ⅲ）方法一同理可得：BD²+（C′D）²=（BC′）²，

设B′D=BD=x，

则x²+（x+1）²=2²，

解得：x₁₌，x₂₌（不合题意，舍去），

∴BB′=x=；

 

（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC²+CD²=2BD²，如图5，

∵AB=AD，

∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，

∴△ABF≌△ADC，

∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，

∴∠BAD=∠CAF，==1，

∴△ACF∽△ABD，

∴==，∴BD，

∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，

∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，

∴∠ABC+∠ABF=270°，

∴∠CBF=90°，

∴BC²+FB²﹣CF²=（BD）²=2BD²，

∴BC²+CD²=2BD²．