Question

【题目】阅读下面资料：

小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值.

小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以2S△ABC2a，由此继续推理，从而解决了这个问题.

（1）直接写出S1 （用含字母a的式子表示）.

请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：

（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积.

（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值.

Answer 1

【答案】（1）19a；（2）315；（3）.

【解析】

（1）首先根据题意，求得S△A1BC=2S△ABC，同理可求得S△A1B1C=2S△A1BC，依此得到S△A1B1C1=19S△ABC，则可求得面积S1的值；
（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC的面积；
（3）设S△BPF=m，S△APE=n，依题意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．得出，从而求解．

解：（1）连接A1C，

∵B1C=2BC，A1B=2AB，
∴,,，
∴，

∴，

同理可得出：，
∴S1=6a+6a+6a+a=19a；
故答案为：19a；

（2）过点作于点，

设，，

；，

．

，即．

同理，．

．

．①

，，

．②

由①②，得，

．

（3）设，，如图所示．

依题意，得，．

．

，

．

，

，

．

．

．