题目内容

已知等腰三角形的周长为20，其中一内角的余弦值是 $数学公式$ ，求这个等腰三角形的腰长．

解：如图，等腰三角形ABC中，周长为20，
①若底角的余弦值是 $\text{[math]}$ ，则cosB= $\text{[math]}$ ，
做AD垂直于BC，交BC于点D；
易得AB+BD= $\text{[math]}$ （AB+AC+BC）=10，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解可得：腰长AB=6，
②若顶角的余弦值是 $\text{[math]}$ ，则cosA= $\text{[math]}$ ，

做BD垂直于AC，交AC于点D，
设AB=x，则AD= $\text{[math]}$ x，由勾股定理可得BD= $\text{[math]}$ x，
在Rt△BCD中，CD=x- $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x，BD= $\text{[math]}$ x，
解可得：BC= $\text{[math]}$ x；
又有AB+AC+BC=20，即2x+ $\text{[math]}$ x=20，
解可得x=12-2 $\text{[math]}$ ．
答：腰长为6或12- $\text{[math]}$ ．
分析：分底角或顶角的余弦值是 $\text{[math]}$ 来求解，①若底角的余弦值是 $\text{[math]}$ ，易得AD与AB的关系，进而解可得AB的值，②若顶角的余弦值是 $\text{[math]}$ ，设AB=x，通过解三角形可得BC的长，由周长为20，可得2x+ $\text{[math]}$ x=20，解可得x即腰长AB的值．
点评：解题时，注意分情况讨论，通过辅助线构造直角三角形来寻找思路．