题目内容

如图，已知：在△ABC中，AB=BC=CA=2，D为BC延长线上一点，CD=1，P为AB上一动点（不运动至点A，B），以PC为直径作⊙O交BC于M，连接PD，交⊙O于H，交AC于E，连接PM．
（1）设AP=t，S_△PCD=S，求S关于t的函数解析式和t的取值范围；
（2）过D作⊙O的切线DT，T为切点，试用含t的代数式表示DT的长；
（3）当点P运动到AB中点时，求证： $数学公式$ ．

（1）解：∵PC是直径，
∴PM⊥BC，
在Rt△PBM中，PB=2-t，∠B=60°，
∴PM=PB•sin60°= $\text{[math]}$ ，
S= $\text{[math]}$ ×CD×PM= $\text{[math]}$ （0＜t＜2）．

（2）解：由（1）可知，BM= $\text{[math]}$ （2-t），MC=2-BM= $\text{[math]}$ （2+t），MD=MC+1=2+ $\text{[math]}$ t；
由切割线定理得DT²=DC•DM=2+ $\text{[math]}$ t，
∴DT= $\text{[math]}$ ．

（3）证明：作PN⊥AC于N；
∵点P为AB中点，
∴CP为等边△ABC的中线，
∴PC平分∠ACB，
∵PM=PN，
∴S_△PCD= $\text{[math]}$ PM•CD，S_△PCE= $\text{[math]}$ PN•CE，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）表示面积关键是确定△PCD的底CD，高PM，围绕求PM，解直角△BPM，其中PB=2-t，∠B=60°；
（2）运用切割线定理得DT²=DC•DM，关键是会表示DM，由（1）可得到启发；
（3）△PCD的底CD，高PM，可以思考△PCE的底CE，构造CE边上的高PN即可．
点评：本题考查了三角形面积的表示方法，等边三角形的性质，角平分线性质，切割线定理，解直角三角形等知识的运用．