题目内容

如图△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H．
（1）PH=cm．
（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为cm²．

解：设AC与DF和EF的交点分别为M，N，如下图所示：

（1）∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，点P为斜面中点，
∴FD=6 $\text{[math]}$ cm，DE=6cm，FP=6cm，
根据旋转前后对应角相等可知：△FHP∽△FED，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
解得：PH=2 $\text{[math]}$ ，FH=4 $\text{[math]}$ ；

（2）∵∠C是公共角，∠CPN=∠A=90°，
∴△PNC∽△ABC得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，其中CP=6，
解得NP=2 $\text{[math]}$ ，NC=4 $\text{[math]}$ ．
FN=FP-NP=6-2 $\text{[math]}$ ，
由△FMN∽△CPN，可知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知
S_{四边形MNPH}=S_△FHP-S_△FMN=S_△CNP-（1- $\text{[math]}$ ）S_△CNP=6× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =9．
△ABC与△DEF重叠部分的面积为9cm²．
故答案为：2 $\text{[math]}$ ，9．
分析：（1）根据旋转前后对应角相等可知：△FHP∽△FED，又点P为斜面中点，FP=6cm，在根据相似三角形的对应边的比相等即可求出PH的长；
（2）把所求阴影部分面积看作△FHP与△FMN的面积差，并且这两个三角形都与△ABC相似，根据∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，求出对应边的长，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积即可．
点评：本题考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形的知识，有一定难度，注意相似三角形性质的熟练运用．