Question

【题目】对于二次函数y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数x0，使得当x=x0，函数y=x0，则称x0是函数y的一个不动点，

（1）当a=1，b=﹣2时，求函数y的不动点；

（2）对任意实数b，函数y恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数y的不动点为﹣1和3；（2）0＜a＜1．

【解析】

试题分析：（1）先确定二次函数解析式为y=x2﹣x﹣3，根据x0是函数y的一个不动点的定义，把（x0，x0）代入得x02﹣x0﹣3=x0，然后解此一元二次方程即可；

（2）根据x0是函数y的一个不动点的定义得到ax02+（b+1）x0+（b﹣1）=x0，整理得ax02+bx0+（b﹣1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，即b2﹣4ab+4a＞0，把b2﹣4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2﹣4ab+4a＞0成立，则（4a）2﹣44a＜0，然后解此不等式即可．

解：（1）当a=1，b=﹣2时，二次函数解析式为y=x2﹣x﹣3，

把（x0，x0）代入得x02﹣x0﹣3=x0，解得x0=﹣1或x0=3，

所以函数y的不动点为﹣1和3；

（2）因为y=x0，

所以ax02+（b+1）x0+（b﹣1）=x0，

即ax02+bx0+（b﹣1）=0，

因为函数y恒有两个相异的不动点，

所以此方程有两个不相等的实数解，

所以△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，

即b2﹣4ab+4a＞0，

而对任意实数b，b2﹣4ab+4a＞0成立，

所以（4a）2﹣44a＜0，

解得0＜a＜1．