Question

如图，直线y1=-

1

2

x+2交x轴于A，该直线与抛物线y2=ax2-

3

2

x-2在第二象限内的交点是B，BD⊥x轴，垂足为D，且△ABD的面积是9．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）抛物线与直线y₁的另一个交点为Q，P是线段QB上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，若P的坐标是（m，n），请用关于m的代数式表示线段PE长度；
（3）连接线段BE，QE，是否存在P点，使△QBE的面积S最大？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据直线解析式求出点A的坐标，再设点B的横坐标为x，根据直线解析式表示出纵坐标，然后再根据△ABD的面积是9列出方程即可求出x的值，然后得到点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线解析式求出a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）联立直线的解析式与抛物线的解析式求出点Q的坐标，发现点A与点Q重合，再分别求出横坐标为m时的点P与点E的纵坐标的长度，根据两点间的距离即可表示出线段PE的长度；
（3）根据S_△QBE=S_△PBE+S_△PEQ，两三角形都以PE为底边，根据三角形面积公式列式并整理，然后再根据二次函数的最值问题进行求解．

解答：解：（1）当y=0时，-

1

2

x+2=0，
解得x=4，
∴点A的坐标是（4，0），
设点B的横坐标是x，则纵坐标为-

1

2

x+2，
∴S_△ABD=

1

2

（4-x）×（-

1

2

x+2）=9，
整理得，（x-4）²=36，
解得x=-2或x=10（舍去），
-

1

2

x+2=-

1

2

×（-2）+2=3，
∴点B的坐标是（-2，3），
∵直线与抛物线y2=ax2-

3

2

x-2在第二象限内的交点是B，
∴4a-

3

2

×（-2）-2=3，
解得a=

1

2

，
∴抛物线的解析式是y=

1

2

x²-

3

2

x-2；
故答案为：B（-2，3）；抛物线的解析式是y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）直线与抛物线解析式联立得，

y= - 1 2 x+2 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
解得

x1=-2 y1=3

，

x2=4 y2=0

，
∴点Q坐标是（4，0），
∵点A坐标也是（4，0），
∴点Q与点A重合，
∵P是线段QB上的一个动点，P的坐标是（m，n），
∴n=-

1

2

m+2，
点E的纵坐标是

1

2

m²-

3

2

m-2，
∴PE=（-

1

2

m+2）-（

1

2

m²-

3

2

m-2）=-

1

2

m²+m+4；

（3）假设存在点P（m，n），
则S_△QBE=S_△PBE+S_△PEQ，
=

1

2

×（-

1

2

m²+m+4）×[m-（-2）]+

1

2

×（-

1

2

m²+m+4）×（4-m），
=

1

2

×（-

1

2

m²+m+4）×（m+2+4-m），
=-

3

2

（m²-2m-8），
=-

3

2

（m-1）²+

27

2

，
∵-

3

2

＜0，
∴存在点P，使△QBE的面积S最大，
当点P的横坐标m=1时，△QBE的面积S最大值是

27

2

，
此时n=-

1

2

×1+2=

3

2

，
∴点P的坐标是（1，

3

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有三角形面积的求解方法，待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，解一元二次方程，综合性较强，难度较大，设计本题的巧妙指出在于点A与点Q正好重合，是道不错的好题．