Question

如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C。
（1）求点A、点B和点C的坐标；
（2）求直线AC的解析式；
（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S_△MAB=6求点M的坐标；
（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动，设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）令，解得，，
∴A（-3，0），B（1，0），
令x=0，得y=3，
∴C（0，3）。
（2）设直线AC的解析式为，
将A、C的坐标代入，得，
解之得，
∴直线AC的解析式为y=x+3；
（3）设M点的坐标为（x，），
∵M在第二象限，
∴>0，
又∵AB=4，
∴由S_△MAB=6，
得，解之，得x₁=0，x₂=-2，
当x=0时，y=3（不合题意，舍去），
当x=-2时，y=3，
∴M点的坐标为（-2，3）；
（4）由题意，得AB=4，PB=4-t，AQ=2t，
∵AO=3，CO=3，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由AQ=2t和Q点在y=x+3上，得Q点的纵坐标为t，
∴S=，
又∵S，
∴当t=2时△APQ最大，最大面积是2。