Question

已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．

（1）求k的取值范围。

（2）是否存在实数可k,使得成立?若存在,请求出k值,若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）k≤；

（2）存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立；理由见解析；

【解析】

试题分析：（1）由题意可得△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；

（2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0转化为3x1·x2-（x1+x2）2≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值．

试题解析：（1）∵原方程有两个实数根，

∴△≥0

即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，

∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ，

∴1﹣4k≥0，

∴k≤，

∴当k≤时，原方程有两个实数根；

（2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立，

∵x1，x2是原方程的两根，

∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，

由x1·x2-x12-x22≥0，

得3x1·x2-（x1+x2）2≥0

∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，

整理得：﹣（k﹣1）2≥0，

∴只有当k=1时，上式才能成立；

又∵由（1）知k≤，

∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立；

考点：1、根与系数的关系；2、根的判别式

考点分析： 考点1：一元二次方程 定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：
它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 试题属性

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