题目内容
19．已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D，连接BD．（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；
（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
分析 （1）当α=60°时，根据旋转的性质和角的和差得出∠A′DB=90°，得出BD和A′A垂直；
（2）根据α=90°补全图形即可；
（3）根据旋转的性质和全等三角形的判定得出△AEC≌△A'FC'、△AED≌△A'FD，再根据等腰三角形的三线合一证明即可．
解答 解：（1）当α=60°时，BD⊥A'A．
（2）补全图形如图2，BD⊥A'A仍然成立；
（3）猜想BD⊥A'A仍然成立．
证明：作AE⊥C'C，A'F⊥C'C，垂足分别为点E，F，如图3，
则∠AEC=∠A'FC'=90°．
∵BC=BC'，
∴∠BCC'=∠BC'C．
∵∠ACB=∠A'C'B=90°，
∴∠ACE+∠BCC'=90°，∠A'C'F+∠BC'C=90°．
∴∠ACE=∠A'C'F．
在△AEC和△A'FC'中，$\left\{\begin{array}{l}∠AEC=∠A'FC'=90°\\∠ACE=∠A'C'F\\ AC=A'C'\end{array}\right.$
∴△AEC≌△A'FC'．
∴AE=A'F．
在△AED和△A'FD中，$\left\{\begin{array}{l}∠AEC=∠A'FD=90°\\∠ADE=∠A'DF\\ AE=A'F\end{array}\right.$
∴△AED≌△A'FD．
∴AD=A'D．
∵AB=A'B，
∴△ABA'为等腰三角形．
∴BD⊥A'A．
点评 此题考查几何变换问题，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，关键是根据旋转的前后图形全等、全等三角形的判定以及等腰三角形的性质进行分析．
练习册系列答案
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