Question

【题目】如图，抛物线经过点和点.

（1）求此抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；

（2）动点在第一象限内的抛物线上.

①如图1，连接，，当的面积和的面积相等时，求出点的横坐标；

②如图2，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）二次函数表达式为，一次函数表达式为；（2）①点的横坐标为2；②坐标为（， ）.

【解析】

（1）设AB直线为，再将A、B点的坐标代入，采用待定系数法求一次函数表达式，同理将A、B点的坐标代入二次函数即可求出抛物线表达式;

（2）①和底为AC，当面积相等时，高也相等，可得P点纵坐标与B点纵坐标相等，再将P点纵坐标代入抛物线即可.

②过点作于点，交直线于点，设点横坐标为，则可以分别表示出P、M的纵坐标，从而可以表示出PM的长，根据可得出的表达式，利用二次函数的性质即可求得最大值，及此时P的坐标.

解：（1）∵抛物线经过点和点，代入解析式得，

∴，

∴抛物线的函数表达式是

设直线: ，将代入直线得，

∴

∴直线的函数表达式是；

（2）①当的面积和的面积相等时，点的纵坐标是3，有，解得，，∴点的横坐标为2；

②如图，过点作于点，交直线于点，设点横坐标为，则点的坐标为，点的坐标是

又∵点，在第一象限，

∴

∴

∴当时，有最大值，最大值为

此时点坐标为.