Question

（本题14分）[来源二次函数的图像的顶点为A（2，-4），且经过点B（5，5）

（1）求抛物线解析式，并画出二次函数图象草图.

（2）若点E1（n2+2，y1）、E2（-n2-1，y2）、E3（n4+3，y3）在抛物线上，且0<n<1，试比较y1、y2、y3的大小.

（3）二次函数的图像与X轴交于C、D两点，点G在抛物线上，点H在抛物线对称轴上，若以C、D、G、H为顶点的四边形是平行四边形，求点G的坐标.

 

Answer 1

图象略；（2）；（3）G（2，-4）、（6，12）、（-2，12）

【解析】

试题分析：（1）根据顶点设解析式为y=a（x-2）²-4，把B的坐标代入得5=a（5-2）²-4,求得解析式；

（2）根据y=（x-2）²-4=x²-4x，顶点为A（2，-4），开口向下，若点E1（n2+2，y1）、E2（-n2-1，y2）、E3（n4+3，y3）在抛物线上，且0<n<1，因为E1（n2+2，y1），E3（n4+3，y3）在对称轴直线x=2的右侧，y随x的增大而增大，n2+2 <n4+3，所以，y1<y3<0,而E2（-n2-1，y2）在对称轴直线x=2的左侧y随x的增大而减小-n2-1<0

所以y2>0,所以可得y1、y2、y3的大小.

（3） 根据抛物线y=（x-2）²-4=x²-4x，对称轴直线x=2，与x轴的交点为（0，0），（0,4）以C、D、G、H为顶点的四边形是平行四边形,以CD为平行四边形的对角线时点H与点G关于x轴对称，当x=2时，y=22-4×2=-4，所以G（2，-4）;当CD为平行四边形的一边时，设G（x, x²-4x）,根据平行四边形的对边相等可得｜x-2｜=4,所以x=-2或x=6,进一步求出y的值即可.

试题解析：（1）根据顶点设解析式为y=a（x-2）²-4

把B的坐标代入得5=a（5-2）²-4,

∴a=1

∴解析式为y=（x-2）²-4=x²-4x

（2）根据y=（x-2）²-4=x²-4x，顶点为A（2，-4），开口向下，若点E1（n2+2，y1）、E2（-n2-1，y2）、E3（n4+3，y3）在抛物线上，且0<n<1，因为E1（n2+2，y1），E3（n4+3，y3）在对称轴直线x=2的右侧，y随x的增大而增大，n2+2 <n4+3，所以，y1<y3<0,而E2（-n2-1，y2）在对称轴直线x=2的左侧y随x的增大而减小-n2-1<0

所以y2>0,所以可得y2> y3 >y1

（3） 根据抛物线y=（x-2）²-4=x²-4x，对称轴直线x=2，与x轴的交点为C（0，0），D（0,4），

以C、D、G、H为顶点的四边形是平行四边形,

以CD为平行四边形的对角线时点H与点G关于x轴对称，

当x=2时，y=22-4×2=-4，所以G（2，-4）;

当CD为平行四边形的一边时，设G（x, x²-4x）,

根据平行四边形的对边相等可得｜x-2｜=4,所以x=-2或x=6,当x=-2时，y=（-2）2-4×（-2）=12；x=6时，y=62-4×6=12.所以G（-2，12）或（6,12），

综上所述G（-2，12），（6,12）或（2，-4）

考点：1.二次函数的综合应用；2平行四边形的性质；3.求点的坐标.