题目内容
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
【答案】分析：（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠1=∠2=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH．∴CF=FH．
（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．
解答：解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC．
证明如下：延长DF交AB于点G，
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且
，
∴DG为△ABC的中位线，
∴
．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．
（2）FH与FC仍然相等．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．
（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．
解答：解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC．
证明如下：延长DF交AB于点G，
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且
，∴DG为△ABC的中位线，
∴
．∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．
（2）FH与FC仍然相等．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．
练习册系列答案
53天天练系列答案
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在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10，则△ABC的外接圆半径长为（ ）
| A、10 | B、5 | C、6 | D、4 |
如图，在△ABC中，AC=
如图所示，在△ABC中，AC与⊙O相切于点A，AC=AB=2，⊙O交BC于D．
（2013•松江区二模）如图，已知在△ABC中，AC=15，AB=25，sin∠CAB=