Question

已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．
（1）当n=5时，共向外作出了

 

个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为

 

；
（2）当n=k时，共向外作出了

 

个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为

 

（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）结合图形正确数出前面几个具体值，从而发现等边三角形的个数和等分点的个数之间的关系：是n等分点的时候，每条边可以作（n-2）个三角形，共有3（n-2）个三角形；再根据相似三角形面积的比是边长的比的平方进行计算．

解答：解：（1）当n=5时，共有3×（5-2）=9个小等边三角形，
∴每个小三角形与大三角形边长的比=

1

5

，
∵大三角形的面积是S，
∴每个小三角形的面积为

1

25

S；‘

（2）由（1）可知，当n=k时，共有3×（k-2）=3（k-2），每个小三角形的面积为

3(k-2)

k2

S．

点评：此题要特别注意画等边三角形的时候，必须以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，所以有n等分点的时候，一边可以作（n-2）个等边三角形；计算面积的时候，主要是根据面积比是边长的平方比进行计算．