Question

已知，如图①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，DC=6，AB=12，BC=10．Rt△EFG（∠EGF=90°）的边EF与BC完全重合，FG与BA在同一直线上．现将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以

5

2

cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，连接FM，当点E运动到点D时，Rt△EFG和点M都停止运动．设点M运动的时间为t（s）

（1）当点Q是AC的中点时，求t的值；
（2）判断四边形CHFM的形状，并说明理由；
（3）如图③，连接HM，设四边形ABMH的面积为s，求s与t的函数关系式及s的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据点Q是AC的中点时，得出EC=3，即可得出t的值即可；
（2）根据平行四边形的判定与性质首先得出四边形CEFB是平行四边形，进而得出四边形CHFM是平行四边形；
（3）根据MN∥CR，得出

MN

CR

=

BM

BC

，进而求出MN的长，再利用三角形面积相等求出HW的长，进而利用三角形面积求出即可．

解答：解：（1）∵点Q是AC的中点时，得出E，G分别在DC，AG中点，
即EC=3，
∴t=1；

（2）平行四边形　
理由：
∵Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移，点M以

5

2

cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，
∴当运动t秒时，BF=3t，CE=

5

2

t，
∴

BF

AB

=

3t

12

=

t

4

，

BM

BC

=

5 2 t

10

=

t

4

，
∴

BF

AB

=

BM

BC

，
∴MF∥AC，
∵EC=BF（平移的性质），AB∥CD，
∴四边形CEFB是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴HF∥CM，CH∥MF，
∴四边形CHFM是平行四边形；

（3）作CR⊥AB，NM⊥AB，FZ⊥BM，HW⊥BC，
∴MN∥CR，
∴

MN

CR

=

BM

BC

，
∵DC=6，AB=12，BC=10，将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以

5

2

cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，
∴

MN

8

=

5 2 t

10

，
∴MN=2t，
∵MN×FB=FZ×MB，
∴2t×3t=FZ×

5

2

t，
∴FZ=

12

5

t，
∴HW=

12

5

t，
∴S=S_△ABC-S_△HMC，
=48-

1

2

×

12

5

t×（10-

5

2

t），
=3t²-12t+48
=3（t-2）²+36，
∴S_最小值=36．

点评：此题主要考查了三角形的面积求法以及相似三角形的判定与性质等知识，根据三角形面积公式求出S_△ABC与S_△HMC是解决问题的关键．