Question

如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.

    (1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;

(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.

Answer 1

证明(1)连接PD、PE、QD、QE.

    因为 CE⊥AB,P是BF的中点,

    所以 △BEF是直角三角形,且

    PE是Rt△BEF斜边的中线,

    所以 PE=BF.

    又因为 AD⊥BC,

    所以 △BDF是直角三角形,且PD是Rt△BDF斜边的中线,

    所以 PD=BF=PE,

    所以 点P在线段DE的垂直平分线上.

    同理可证,QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线,

    所以 QD=AC=QE,

    所以 点Q也在线段DE的垂直平分线上.

    所以 直线PQ垂直平分线段DE.

    (2)当△ABC为钝角三角形时,(1)中的结论仍成立.

    如右图,△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°.

    原题改写为:如右图,在钝角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,DA 与CE的延长线交于点F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.

    求证:直线PQ垂直且平分线段DE.

    证明  连接PD,PE,QD,QE,则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线,

    所以 PD=BF, PE=BF,

    所以 PD=PE,

    点P在线段DE的垂直平分线上.

    同理可证  QD=QE,

    所以 点Q在线段DE的垂直平分线上.

    所以 直线PQ垂直平分线段DE.