Question

如图，直线y=-x+4交坐标轴于A、B两点，M为反比例函数y=

-3

x

（x＞0）上一点，N为直线y=-x+4上一点，当四边形OMCN为正方形时，求M点和N点的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：过点N作NE⊥y轴于点E，过点M作MF⊥y轴于点F，如图，易证△NEO≌△OFM，由此可得EN=FO，OE=MF．设点N的坐标为（a，b），则EN=FO=a，OE=MF=b，从而得到点M的坐标为（b，-a），然后把两个点的坐标代入对应的解析式，就可求出a、b的值，从而解决问题．

解答：解：过点N作NE⊥y轴于点E，过点M作MF⊥y轴于点F，如图，
则有∠NEO=∠MFO=90°．
∵四边形OMCN为正方形，
∴ON=OM，∠NOM=90°，
∴∠NOE=180°-90°-∠FOM=90°-∠FOM=∠FMO．
在△NEO和△OFM中，

∠NEO=∠OFM ∠NOE=∠FMO ON=OM

，
∴△NEO≌△OFM（AAS），
∴EN=FO，OE=MF．
设点N的坐标为（a，b），
则EN=FO=a，OE=MF=b，
∵点M在第四象限，
∴点M的坐标为（b，-a）．
∵M为反比例函数y=

-3

x

（x＞0）上一点，N为直线y=-x+4上一点，
∴

-ab=-3 b=-a+4

，即

ab=3 a+b=4

，
解得

a=1 b=3

或

a=3 b=1

．
当a=1，b=3时，M点的坐标为（3，-1），N点的坐标为（1，3）；
当a=3，b=1时，M点的坐标为（1，-3），N点的坐标为（3，1）．

点评：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直线及反比例函数图象上点的坐标特征、解方程组等知识，构造全等三角形是解决本题的关键．