Question

如图，在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A=，AB=3，CD=6，BE⊥BC交直线AD于点E.

（1）当点E与D恰好重合时，求AD的长；
（2）当点E在边AD上时（E不与A、D重合），设AD=x，ED=y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）问：是否可能使△ABE、△CDE与△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由.

Answer 1

（1）3
（2），
（3）

解：（1）当点E与D重合时，由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，
得△ABD∽△BDC，则，---------------------（2分）
∴，-----------------------------------------（1分）
则.------------------------------（1分）
（2）作BH⊥DC，H为垂足，
则∠ABE+∠EBH=, ∠EBH+∠HBC=，
∴∠HBC=∠ABE，又∠BHC=∠A=，
∴△ABE∽△HBC，------------------------------------（2分）
又AB‖CD，得HB=AD=x，HC=，
∴，即，--------------------------（2分）
解得，定义域为.----------------------（1分）
（3）假设能使△ABE、△CDE与△BCE都相似，当点E在边AD上时，（如图1）

易知∠EBC=∠A=∠D=，
考虑∠1的对应角，容易得到∠1,∠1,
所以必有∠1=∠2=∠3=，
于是在△ABE、△CDE中，易得，,
∴,------------------------------------------（2分）
此时，,, BC="6," -----------------（1分）
即能使△ABE、△CDE与△BCE都相似；当点E在边AD的延长线上时，（如图2）

类似分析可得∠1=∠2=∠3=，可求得,--------（2分）
同样能使△ABE、△CDE与△BCE都相似.