Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x+4 (2) PM=8﹣t，t=2 (3)当0≤t≤1时，S=2t+6；当1＜t＜2时，S=﹣2t2+6t+4；当t=2时，S=8；最大值为

【解析】

（1）根据已知条件求得点B的坐标，再用待定系数法求直线AB得解析式即可；（2）在Rt△AOB中，求得AB=8，即可表示出BP= 8-t，再由tan∠PBM=，即可用t的代数式表示PM得长；当点M与点O重合时，可得AO=2AP，由此即可求得t值；（3）根据当0≤t≤1时、当1＜t＜2时及当t=2时，分别求出S与t的函数解析式，并求得最大值，比较即可.

（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12，

∴B（12，0），设直线AB解析式为y=kx+b，

把A和B坐标代入得：，

解得：，

则直线AB的解析式为：y=﹣x+4．

（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，

∴AB=2OA=8，

∵AP=t，

∴BP=AB﹣AP=8t，

∵△PMN是等边三角形，

∴∠MPB=90°，

∵tan∠PBM=，

∴PM=（8﹣t）×=8﹣t．

如图1，过P分别作PQ⊥y轴于Q，PS⊥x轴于S，

可求得AQ=AP=t，PS=QO=4﹣t，

∴PM=（4﹣）÷=8﹣t，

当点M与点O重合时，

∵∠BAO=60°，

∴AO=2AP．

∴4=2t，

∴t=2．

（3）①当0≤t≤1时，见图2．

设PN交EC于点G，重叠部分为直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．

∵∠GNH=60°，，

∴HN=2，

∵PM=8﹣t，

∴BM=16﹣2t，

∵OB=12，

∴ON=（8﹣t）﹣（16﹣2t﹣12）=4+t，

∴OH=ON﹣HN=4+t﹣2=2+t=EG，

∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6．

∵S随t的增大而增大，

∴当t=1时，Smax=8．

②当1＜t＜2时，见图3．

设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G，重叠部分为五边形OFIGN．

作GH⊥OB于H，

∵FO=4﹣2t，

∴EF=2﹣（4﹣2t）=2t﹣2，

∴EI=2t﹣2．

∴S=S梯形ONGE﹣S△FEI=2t+6﹣（2t﹣2）（2t﹣2）=﹣2t2+6t+4

由题意可得MO=4﹣2t，OF=（4﹣2t）×，PC=4﹣t，PI=4﹣t，

再计算S△FMO=（4﹣2t）2×

S△PMN=（8﹣t）2，S△PIG=（4﹣t）2，

∴S=S△PMN﹣S△PIG﹣S△FMO=（8﹣t）2﹣（4﹣t）2﹣（4﹣2t）2×

=﹣2t2+6t+4

∵﹣2＜0，

∴当时，S有最大值，Smax=．

③当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合，

设PM交EC于点I，PD交EC于点G，重叠部

分为等腰梯形IMNG，见图4．S=×62﹣×22=8，

综上所述：当0≤t≤1时，S=2t+6；

当1＜t＜2时，S=﹣2t2+6t+4；

当t=2时，S=8．

∵，

∴S的最大值是 ．