Question

Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至点O重合时，运动结束．在上述运动过程中，⊙G始终以AB为直径．

（1）试判断在运动过程中，原点O与⊙G的位置关系，并说明理由；
（2）设点C坐标为（x，y），试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长．

Answer 1

分析：（1）因为OG始终是⊙G的半径，所以原点O始终在⊙G上；
（2）运动过程中，弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=

3 x

3

．即自变量x的取值范围是

3 3

2

≤x≤3

3

；
（3）利用勾股定理可求得，点C运动的路程s=3

4-2 3

．

解答：解：（1）原点O与⊙G的位置关系是：点O在⊙G上；
如图3，连接OG，∵∠AOB是直角，G为AB中点，
∴GO=

1

2

AB=半径，故原点O始终在⊙G上．

（2）∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，∴∠ABC=30°．
连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，如图4，
∴∠AOC=∠ABC=30°，
在Rt△ODC中，tan∠COD=

CD

OD

，即tan30°=

y

x

，
∴y与x的关系式是：y=

3

3

x．
自变量x的取值范围是

3 3

2

≤x≤3

3

．

（3）∵由（2）中的结论可知，点C在与x轴夹角为30°的射线上运动．
∴如图5，点C的运动路径为：C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如图6，点C的运动路径为：C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3

3

；
∴总路径为：C₁C₂+C₂C₃=3+6-3

3

=9-3

3

．

点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．