Question

如图，在梯形中，∥，，，点在对角线上，作，连接，且满足．

（1）求证：；
（2）当时，试判断四边形的形状，并说明理由．

Answer 1

见解析

证明：（1）∵， 
∴                                            （1分）
∵，
∴≌                                            （1分）
∴                                            （1分）
∵，
∴                                      （1分）
∴，
∴                                               （1分）
∴                                                  （1分）
（2）四边形是正方形                                         （1分）
∵，
∴，
∴                                                 （2分）
∵ 
∴∽                                            （1分）
∴                                      （1分）
∵，    
∴四边形是矩形                                         （1分）
∵， 
∴四边形是正方形
（1）利用互余关系证明∠BCE=∠DCF，又有BC=DC，EC=CF，可证△BCE≌△DCF，得出∠EBC=∠FDC，由已知可知△BCD为等腰直角三角形，故有∠BDC=∠EBC=∠FDC=45°，可证∠FDB=90°，证明BD⊥DF；
（2）四边形DECF是正方形．由BC2=DE•DB及BC=DC，得DC2=DE•DB，转化为比例式，利用公共角∠CDE=∠BDC，证明△CDE∽△BDC，则有∠DEC=∠DCB=90°，判断四边形DECF是矩形，结合条件CE=CF，可证四边形DECF是正方形．