Question

（1）199³-199能被198整除吗？能被200整除吗？说明你的理由．
（2）说明：当n为正整数时，n³-n的值必为6的倍数．

Answer 1

解：（1）∵199³-199=199（199²-1）=199（199+1）（199-1）=199×200×198，
∴199³-199能被198整除；199³-199能被200整除．
（2）n³-n=n（n²-1）=n（n+1）（n-1），
因为n为正整数，n-1，n，n+1为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数，所以n（n+1）（n-1）必有6的倍数．
分析：（1）把199³-199利用因式分解的方法得到199³-199=199（199²-1）=199（199+1）（199-1）=199×200×198，即198和200都是它的因数，则可判断199³-199能被198整除；199³-199能被200整除．
（2）先利用因式分解得到n³-n=n（n²-1）=n（n+1）（n-1），由于当n为正整数时，则n-1，n，n+1为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数，于是以n（n+1）（n-1）必有6的倍数．
点评：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把复杂的运算简单化或解决整除问题．