题目内容
（2006•佛山）已知：在四边形ABCD中，AB=1，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设四边形EFGH的面积为S，AE=x（0≤x≤1）．（1）如图①，当四边形ABCD为正方形时，
①求S关于x的函数解析式，并求S的最小值S；
②在图②中画出①中函数的草图，并估计S=0.6时x的近似值（精确到0.01）；
（2）如图③，当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）①四边形ABCD为正方形，易得四边形EFGH为正方形，那么面积S=HE2，可求得二次函数的最值；②看二次函数上y=0.6时对应的x的值即可．
（2）易得△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．那么四边形EFGH的面积=菱形ABCD的面积-2（S△AHE+S△EBF）利用30°的三角函数值求得两三角形边上的高即可求解．
解答：
解：（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
则S=HE2=x2+（1-x）2
=2x2-2x+1=2（x-
）2+
∴当x=
时，S=
②列表：
在直角坐标系中描点、画图（图2中粗线）．
（注：作图时，不列对应值表不扣分）
观察函数的图象，可知当S=0.6时，x≈0.27和x≈0.73．
验证：当x=0.27时，S=0.6029；当x=0.28时，S=0.5984．
从而取x≈0.28．同理取x≈0.72．
（2）四边形EFGH的面积存在最小值．
理由如下：
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延长线于N
∵AE=x，则AH=1-x
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°
∴HM=
AH=
（1-x）
同理得FN=
BF=
x
∴S△AEH=
AE•HM=
x（1-x），S△EBF=
EB•FN=
x（1-x）
又∵SABCD=
∴S=
-4×
x（1-x）=x2-x+
=（x-
）2+
∴当x=
时，四边形EFGH的面积存在最小值
．
点评：本题考查特殊四边形与二次函数的综合应用．注意二次函数中一个y值有可能对应两个x值．
（2）易得△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．那么四边形EFGH的面积=菱形ABCD的面积-2（S△AHE+S△EBF）利用30°的三角函数值求得两三角形边上的高即可求解．
解答：
解：（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，则S=HE2=x2+（1-x）2
=2x2-2x+1=2（x-
）2+∴当x=
时，S=②列表：
| x | 0 | 0.3 | 0.5 | 0.7 | 1 |
| y | 0.58 | 0.5 | 0.58 | 0 |
（注：作图时，不列对应值表不扣分）
观察函数的图象，可知当S=0.6时，x≈0.27和x≈0.73．
验证：当x=0.27时，S=0.6029；当x=0.28时，S=0.5984．
从而取x≈0.28．同理取x≈0.72．
（2）四边形EFGH的面积存在最小值．
理由如下：
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延长线于N
∵AE=x，则AH=1-x
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°
∴HM=
AH=（1-x）同理得FN=
BF=x∴S△AEH=
AE•HM=x（1-x），S△EBF=EB•FN=x（1-x）又∵SABCD=
∴S=
-4×x（1-x）=x2-x+=（x-）2+∴当x=
时，四边形EFGH的面积存在最小值．点评：本题考查特殊四边形与二次函数的综合应用．注意二次函数中一个y值有可能对应两个x值．
练习册系列答案
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？
？若能，求出相应x的值；若不能，请说明理由．
．
