Question

先阅读下列材料，再解答后面的问题．
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，…，

1

17×19

=

1

2

(

1

17

-

1

19

)，
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

17×19

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

19

)=

9

19

．
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第五项为

 

，第n项为

 

；
（2）计算

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

．

Answer 1

分析：（1）由已知中所给的条件找出规律解答；（2）把每一个分式先分列为两个分式，找抵消规律，再计算．

解答：解：（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

中，
第五项为：

1

9×11

，
第n项为：

1

(2n-1)(2n+1)

；

（2）

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

=

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

=

1

x-1

-

1

x+3

=

x+3-x+1

(x-1)(x+3)

=

4

(x-1)(x+3)

．

点评：解答此类题目关键是找出规律再解答；在计算分式时若分母有规律可循是可将其分开以简化计算．