Question

18．菱形ABCD的周长为8，∠ABC+∠ADC=90°，以AB为腰，在菱形外作底角是45°的等腰△ABE，连接AC，CE．请画出图形，并直接写出△ACE的面积．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：当∠ABE=90°时，∠EAB=∠ABC=45°；当∠BAE=90°时，作CF⊥AB于F，连接EF，分别根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，进行计算即可得到△ACE的面积．

解答 解：△ACE的面积为2或2-$\sqrt{2}$．
①如图，当∠ABE=90°时，∠EAB=∠ABC=45°，

∴AE∥BC，
∴S_△ACE=S_△ABE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=BE=2，
∴S_△ACE=S_△ABE=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
②如图，当∠BAE=90°时，作CF⊥AB于F，连接EF，则∠EAF=∠CFA=90°，

∴AE∥CF，
∴S_△ACE=S_△AFE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=AE=BC=2，
∴Rt△BCF中，BF=$\sqrt{2}$，
∴AF=2-$\sqrt{2}$，
∴S_△ACE=S_△AFE=$\frac{1}{2}$AE×AF=$\frac{1}{2}$×2×（2-$\sqrt{2}$）=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是画出图形，运用分类思想以及化归思想进行求解．