题目内容
已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．
①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点．
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0．
△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1．
综上所述，k的取值范围是k≤2．
(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1．
由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1．(*)
将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得：
2k(x1＋x2)＝4x1x2．
又∵x1＋x2＝
，x1x2＝
，
∴2k·＝4·．
解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)．
∴所求k值为－1．
②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－
)2＋
．
且－1≤x≤1．
由图象知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝时，y最大＝
∴y的最大值为，最小值为－3．
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