Question

【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，

①△ADC是　　　　　　　 三角形；

②设△BDC的面积为，△AEC的面积为，则与的数量关系是　　　　　　．

（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究：如图4，已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，且BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

Answer 1

【答案】(1)①等边；②S1＝S2；（2） ，理由见解析；（3）BF=或BF=

【解析】试题分析：（1）①根据AC=CD，∠BAC=60°，即可判定△ACD是等边三角形；

②根据DE∥AC，可得S△ACE=S△ACD，根据点D是AB的中点，可得S△BDC=S△ACD，进而得到△BDC的面积和△AEC的面积相等，即S1=S2；

（2）先判定△ACN≌△DCM（AAS），得出AN=DM，再根据等底等高的三角形的面积相等可得，△BDC的面积和△AEC的面积相等，即S1=S2；

（3）先作EG⊥BD于G，延长CD交AB于H，根据等底等高的三角形的面积相等，可得EG=HF=，最后根据线段的和差关系，即可求得BF的长．

试题解析：（1）①∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，

∴△ACD是等边三角形，②∵△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC，

∴根据同底等高的三角形面积相等，可得S△ACE=S△ACD，

∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴Rt△ABC中，AC=AB=AD，

∴点D是AB的中点，

∴S△BDC=S△ACD，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等，即S1=S2，

（2）如图,

∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,

∴BC=CE,AC=CD

,

,……… 6分

在△ACN和△DCM中,

,

,

∴AN=DM

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),

即

（3）BF=或BF=．

理由：如图，作EG⊥BD于G，延长CD交AB于H，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，DE∥AB，

∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°，

∴ED=EB，

∴BG=BD=2，

∴Rt△BEG中，GE=，

∵DB=DC=4，

∴∠BCD=∠DBC=30°，

∴∠ABC=60°，

∴∠CHB=90°，即CH⊥AB，

∵S△DCF=S△BDE，DB=DC，

∴△CDF中CD边上的高等于，

当点F在HB上时，HF=，

又∵Rt△BDH中，DH=BD=2，∠DBH=30°，

∴BH=DH=2，

∴BF=BH-FH=2-=；

当点F'在BH延长线上时，同理可得HF'=，

∴BF'=BH+F'H=2+=．

综上所述，BF的长为或．