Question

【题目】在中，，点在边上，且，是射线上的一个动点(不与点重合，且)，在射线上截取，连接.

当点在线段上时，

①点与点重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 ；

②如图2，若点不与点重合，请证明;

(2)当点在线段的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明).

Answer 1

【答案】（1）①；②证明见解析；（2）AE＝BFCD或AE＝CDBF

【解析】

（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；

（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．

（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，

∴∠EAD＝∠FBD＝120°，

∵DE＝DF，

∴∠E＝∠F，

在△AEC与△BCF中，

∴△ADE≌△BDF，

∴AE＝BF；

故答案为：AE＝BF；

②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，

∵∠EBD＝60°，BG＝BD，

∴△GBD是等边三角形．

同理，△ABC也是等边三角形．

∴AG＝CD，

∵DE＝DF，

∴∠E＝∠F．

又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，

∴∠DGE＝∠DBF＝120°，

在△DGE与△DBF中，

，

∴△DGE≌△DBF，

∴GE＝BF，

∴AE＝BF＋CD；

（2）如图3，连接DG，

由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，

∴AE＝EGAG；

∴AE＝BFCD，

如图4，连接DG，

由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，

∴AE＝AGEG；

∴AE＝CDBF．

∴线段之间的数量关系为AE＝BFCD或AE＝CDBF.