Question

如图，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE都为等边三角形，连接AE、DB．

（1）试说出AE=BD的理由．
（2）如果把△DCE绕C点顺时针旋转一个角度，使B、C、E不在一条直线上，（1）中的结论还成立吗？（只回答，不说理由）
（3）在（2）中若AE、BD相交于P，求∠APB的度数．

Answer 1

分析：①根据等边三角形性质得出BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS证△BCD≌△ACE即可；
②与①方法类同根据SAS证△BCD≌△ACE即可；
③根据全等推出∠CAE=∠CBD，求出∠APB=180°-∠CAB-∠CBA，求出即可．

解答：解：①理由是：∵△ABC、△DCE都为等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△BCD 与△ACE中：

BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE

∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE；

②仍然成立；

③∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAP=∠CBP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）
=180°-（PAC+∠CAB+∠PBA）
=180°-（∠PAB+∠CBA）
=180°-（60°+60°）
=60°，
即∠APB=60°．

点评：本题考查了等边三角形性质和全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．