Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发以lcm/s的速度沿折线AC﹣CB运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作正方形PQRS，设正方形PQRS与△ABC的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．

（1）用含t的代数式表示CP的长度；

（2）当点S落在BC边上时，求t的值；

（3）当正方形PQRS与△ABC的重叠部分不是五边形时，求S与t之间的函数关系式；

（4）连结CS，当直线CS分△ABC两部分的面积比为1：2时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）当0＜t＜4时，CP＝4﹣t，当4≤t＜8时，CP＝t﹣4；（2）；（3）S＝；（4）或

【解析】

（1）分两种情形分别求解即可．

（2）根据PA+PC＝4，构建方程即可解决问题．

（3）分两种情形：如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQRS，当4＜t＜8时，重叠部分是△PQB，分别求解即可．

（4）设直线CS交AB于E．分两种情形：如图4﹣1中，当AE＝AB＝时，满足条件．如图4﹣2中，当AE＝AB时，满足条件．分别求解即可解决问题．

解：（1）当0＜t＜4时，∵AC＝4，AP＝t，

∴PC＝AC﹣AP＝4﹣t；

当4≤t＜8时，CP＝t﹣4；

（2）如图1中，点S落在BC边上，

∵PA＝t，AQ＝QP，∠AQP＝90°，

∴AQ＝PQ＝PS＝t，

∵CP＝CS，∠C＝90°，

∴PC＝CS＝t，

∵AP+PC＝BC＝4，

∴t+t＝4，

解得t＝．

（3）如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQRS，S＝（t）2＝t2．

当4＜t＜8时，重叠部分是△PQB，S＝（8﹣t）2．

综上所述，S＝．

（4）设直线CS交AB于E．

如图4﹣1中，当AE＝AB＝时，满足条件，

∵PS∥AE，

∴，

∴，

解得t＝．

如图4﹣2中，当AE＝AB时，满足条件．

同法可得：，

解得t＝，

综上所述，满足条件的t的值为或．