Question

2．如图，△ABC中，∠A=60°，∠C=20°，D是BC的中点，E是AC上一点，CD=CE，若S_△ABC+2S_△CDE=2$\sqrt{3}$，则AC=4．

Answer 1

分析 如图作CF⊥AB交AB的延长线于F，连接DF．由△BDF≌△ECD，推出S_△CDE=S_△BDF=S_△DFC，推出S_△AFC=2$\sqrt{3}$，设AF=a，则CF=$\sqrt{3}$a，推出$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$a=2$\sqrt{3}$，求出a即可解决问题．

解答 解：如图作CF⊥AB交AB的延长线于F，连接DF．

∵∠A=60°，∠AFC=90°，
∴∠ACF=30°，
∵∠ACB=20°，
∴∠DCF=10°，
在Rt△BCF中，∵BD=DC，
∴DF=DB=DC，
∴∠DFC=∠DCF=10°，
∴∠BDF=∠DFC+∠DCF=20°，
在△DBF和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠BDF=∠ECD}\\{DF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ECD，
∴S_△CDE=S_△BDF=S_△DFC，
∴S_△AFC=2$\sqrt{3}$，设AF=a，则CF=$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$a=2$\sqrt{3}$，
∴a=2或-2（舍弃），
∴AF=2，
∵AC=2AF，
∴AC=4，
故答案为4．
∴

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的30度角性质，三角形的面积公式的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．