题目内容

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AB、AC上，且DE⊥AB．若DE将ABC分成面积相等的两部分，且S_△ABC=20，AE=8，则AD=________．

（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
分析：过点D作DF⊥AE于F，根据△ABC的面积求出△ADE的面积并求出DF的长度，再根据△ADF和△DFE相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出AF，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求解即可得到AD的长度．
解答：

解：过点D作DF⊥AE于F，
∵S_△ABC=20，DE将ABC分成面积相等的两部分，
∴S_△ADE= $\text{[math]}$ ×20=10，
∵AE=8，
$\text{[math]}$ ×8•DF=10，
解得DF= $\text{[math]}$ ，
∵DF⊥AE，DE⊥AB，
∴∠A+∠ADF=90°，∠ADF+∠EDF=90°，
∴∠A=∠EDF，
又∵∠ADF=∠DFE=90°，
∴△ADF∽△DFE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DF²=AF•EF，
即（ $\text{[math]}$ ）²=AF•（8-AF），
整理得，4AF²-32AF+25=0，
解得AF= $\text{[math]}$ ，
在Rt△ADF中，根据勾股定理，AD²=DF²+AF²，
代入数据得，AD²=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
=32±4 $\text{[math]}$ ，
=26±2 $\text{[math]}$ +6，
=（ $\text{[math]}$ ）²±2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ ）²，
=（ $\text{[math]}$ ± $\text{[math]}$ ）²，
所以，AD=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）．
故答案为：（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出辅助线构造出Rt△ADF并利用相似三角形对应边成比例求出AF的长度是解题的关键．