Question

4．如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用y=-x²+bx+c表示，且抛物线经过点B（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），C（2，$\frac{7}{4}$）．
请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

Answer 1

分析 （1）将点B、C坐标代入y=-x²+bx+c列不等式组求出b、c的值即可得解析式，令x=0可得y的值，即喷水装置OA的高度；
（2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；
（3）令y=0可得对应x的值．

解答 解：（1）根据题意，将点B（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），C（2，$\frac{7}{4}$）代入y=-x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}b+c=\frac{5}{2}}\\{-{2}^{2}+2b+c=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴y与x的函数关系式为：y=-x²+2x+$\frac{7}{4}$，
当x=0时，y=$\frac{7}{4}$，
∴喷水装置OA的高度为$\frac{7}{4}$米；

（2）∵y=-x²+2x+$\frac{7}{4}$=-（x-1）²+$\frac{11}{4}$，
∴当x=1时，y取得最大值$\frac{11}{4}$，
故喷出的水流距水面的最大高度是$\frac{11}{4}$米；

（3）当y=0时，解方程-x²+2x+$\frac{7}{4}$=0，
解得：x₁=1-$\frac{\sqrt{11}}{2}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∵x₁=1-$\frac{\sqrt{11}}{2}$＜0，不合题意，舍去，
∴x₂=1+$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
答：水池的半径至少要1+$\frac{\sqrt{11}}{2}$米，才能使喷出的水流不至于落在池外．

点评 本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点、y轴交点的实际意义是解题的关键．