题目内容
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-
x2+bx+c的图象经过点A（2，5），B（0，2），C（4，2）．（1）求这个二次函数关系式；
（2）若在平面直角坐标系中存在一点D，使得四边形ABDC是菱形，请直接写出图象过B、C、D三点的二次函数的关系式．
【答案】分析：（1）分别把A（2，5），B（0，2），C（4，2）代入y=-
x2+bx+c，利用待定系数法可得b=3，c=2，从而得出这个二次函数关系式；
（2）先求出D点的坐标，再把B、C、D三点的坐标代入，即可求出二次函数的关系式．
解答：解：（1）分别把A（2，5），B（0，2），C（4，2）代入y=-
x2+bx+c，
得
解得
，
故这个二次函数的解析式为：y=-
x2+3x+2；
（2）∵点A、B、C的坐标分别是（2，5），（0，2），（4，2）．
∴当四边形ABDC是菱形时，点D的坐标是（2，-1），
设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
把B、C、D三点的坐标代入得：
解得：
所以图象过B、C、D三点的二次函数的关系式：
y=
x2-3x+2．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，关键是根据菱形的性质和点A、B、C的坐标求出点D的坐标．
x2+bx+c，利用待定系数法可得b=3，c=2，从而得出这个二次函数关系式；（2）先求出D点的坐标，再把B、C、D三点的坐标代入，即可求出二次函数的关系式．
解答：解：（1）分别把A（2，5），B（0，2），C（4，2）代入y=-
x2+bx+c，得
解得
，故这个二次函数的解析式为：y=-
x2+3x+2；（2）∵点A、B、C的坐标分别是（2，5），（0，2），（4，2）．
∴当四边形ABDC是菱形时，点D的坐标是（2，-1），
设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
把B、C、D三点的坐标代入得：
解得：
所以图象过B、C、D三点的二次函数的关系式：
y=
x2-3x+2．点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，关键是根据菱形的性质和点A、B、C的坐标求出点D的坐标．
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