Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接AE，点F，H，G分别为DE，AE，AB的中点连接FH，HG

（1）观察猜想图1中，线段FH与GH的数量关系是　 　，位置关系是　 　

（2）探究证明：把△CDE绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接AD，AE，BE判断△FHG的形状，并说明理由

（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝4，AC＝8，请直接写出△FHG面积的最大值

Answer 1

【答案】（1）FH＝GH，FH⊥HG；（2）△FGP是等腰直角三角形，理由见解析；（3）18

【解析】

（1）直接利用三角形的中位线定理得出FH＝GH，再借助三角形的外角的性质即可得出∠FHG＝90°，即可得出结论；

（2）由题意可证△CAD≌△CBE，可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，根据三角形中位线定理，可证HG＝HF，HF∥AD，HG∥BE，根据角的数量关系可求∠GHF＝90°，即可证△FGH是等腰直角三角形；

（3）由题意可得S△HGF最大＝HG2，HG最大时，△FGH面积最大，点D在AC的延长线上，即可求出△FGH面积的最大值．

解：（1）∵AC＝BC，CD＝CE，

∴AD＝BE，

∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，

∴FH＝AD，

∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，

∴GH＝BE，

∴FH＝GH，

∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，

∴FH∥AD，

∴∠FHE＝∠CAE

∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，

∴GH∥BE，

∴∠AGH＝∠B，

∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠BAC＝∠B＝45°，

∵∠EGH＝∠B+∠BAE，

∴∠FHG＝∠FHE+∠EHG＝∠CAE+∠B+∠BAE＝∠B+∠BAC＝90°，

∴FH⊥HG，

故答案为：FH＝GH，FH⊥HG；

（2）△FGP是等腰直角三角形

理由：由旋转知，∠ACD＝∠BCE，

∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△CAD≌△CBE（SAS），

∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，

由三角形的中位线得，HG＝BE，HF＝AD，

∴HG＝HF，

∴△FGH是等腰三角形，

由三角形的中位线得，HG∥BE，

∴∠AGH＝∠ABE，

由三角形的中位线得，HF∥AD，

∴∠FHE＝∠DAE，

∵∠EHG＝∠BAE+∠AGH＝∠BAE+∠ABE，

∴∠GHF＝∠FHE+∠EHG

＝∠DAE+∠BAE+∠ABE

＝∠BAD+∠ABE

＝∠BAC+∠CAD+∠ABC﹣∠CBE

＝∠CBA+∠CAB，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°，

∴∠GHF＝90°，

∴△FGH是等腰直角三角形；

（3）由（2）知，△FGH是等腰直角三角形，HG＝HF＝AD，

∵S△HGF＝HG2，

∴HG最大时，△FGH面积最大，

∴点D在AC的延长线上，

∵CD＝4，AC＝8

∴AD＝AC+CD＝12，

∴HG＝×12＝6．

∴S△PGF最大＝HG2＝18．