Question

抛物线与x轴交于A(- 2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点 C(0，-4)。
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 1，连接AC、BC，点M(m，0)在线段AB上(不与A、B重合)，过点M作MN ∥AC，交BC于点N，连接CM，设△CMN的面积为 S，求S与 m之间的函数关系式；
(3)点D(4，k)在抛物线上，点E为在x轴下方的抛物线上的一个动点，如图2所示，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1) ∵ 抛物线与x轴交于A(-2，0)、B(6，0)，
∴ 设抛物线的解析式为 y= a(x +2)(x -6)，
将点C的坐标代入，
解得a= ，
∴ 抛物线的解析式为   
(2)过点N作NH⊥x轴于点H，则△BHN∽△BOC，
∴
∵ A(-2，0)，B(6，0)，
∴ AB=8，BM=6-m      
∵ MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
∴

=BM·（CO-NH）
     
    
(3)存在。    
∵ 点D(4，k)在抛物线上，
∴点D的坐标是(4，-4)，
∴点E在x轴下方，
∴AF为平行四边形的边，
∴E(0，-4)，DE =4，
∴满足条件的点 F的坐标为( - 6，0)、(2，0)。