Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条垂直的射线与两腰相交于E，F两点，连接EF与AD相交于G，若∠AED=110°，则∠AGF=________．

Answer 1

110°
分析：根据等腰直角三角形得出AD平分∠BAC，AD=BD=DC，AD⊥BC，推出∠BAD=∠DAC=∠B=∠45°，∠ADC=90°，求出∠ADF=∠BDE，根据ASA证△BDE≌△ADF，推出DE=DF，根据等腰直角三角形得出∠DEF=45°=∠EFD，根据三角形的外角性质求出即可．
解答：∵△BAC是等腰直角三角形（∠BAC=90°），D为BC中点，
∴AD平分∠BAC，AD=BD=DC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠45°，∠ADC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDF=90°，∠CDF+∠BDE=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴∠DEF=45°=∠EFD，
∵∠AED=110°，∠EAD=∠FED=45°，
∴∠AGF=∠AEG+∠EAG=（110°-45°）+45°=110°，
故答案为：110°．
点评：本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，但有一定的难度．