Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线y＝ax+b（a≠0）交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，E为x轴上一点．已知OA＝OC＝OE，A点坐标为（3，4）．

（1）将线段OE沿x轴平移得线段O′E′（如图1），在移动过程中，是否存在某个位置使|BO′﹣AE′|的值最大？若存在，求出|BO′﹣AE′|的最大值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；

（2）将直线OA沿射线OE平移，平移过程中交的图象于点M（M不与A重合），交x轴于点N（如图3）．在平移过程中，是否存在某个位置使△MNE为以MN为腰的等腰三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）存在，|BO′﹣AE′|的最大值为，此时点O′的坐标（﹣，0）；（2）存在，M（）或（8，）．

【解析】

（1）把A向左平移5个单位得A1（-2，4），作B关于x轴的对称点B1，则有|BO′-AE′|=|BO′-A1O′|=B1O′-A1O′|≤A1B1，想办法求出A1B1，直线A1B1的解析式即可解决问题；

（2）设M（m，），则N（m，0），NE2=（5-m+）2，ME2=（5-m）2+（）2，MN2=（）2+（）2，分MN=EM，MN=NE两种情形，分别构建方程即可解决问题．

（1）如图1中，

∵A（3，4），

∴OA＝＝5，

∵OA＝OC＝OE，

∴OA＝OC＝OE＝5，

∴C（﹣5，0），E（5，0），

把A、C两点坐标代入y＝ax+b得到，

解得，

∴直线的解析式为：，

把A（3，4）代入y＝中，得到k＝12，

∴反比例函数的解析式为y＝，

把A向左平移5个单位得A1（﹣2，4），作B关于x轴的对称点B1，

则有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A1O′|＝|B1O′﹣A1O′|≤A1B1，

直线AC：，

双曲线：，

∴B（﹣8，﹣），B1（﹣8，），

∴A1B1＝，

直线A1B1：，

令y＝0，可得x＝﹣，

∴O′（﹣，0）．

∴|BO′﹣AE′|的最大值为，此时点O′的坐标（﹣，0）．

（2）设M（m，），则N（m﹣，0），

∴NE2＝（5﹣m+）2，ME2＝（5﹣m）2+（）2，MN2＝（）2+（）2

若MN＝ME，则有，（5﹣m）2+（）2＝（）2+（）2，

解得：m＝或（舍弃），

∴M（，），

若MN＝NE，则有（5﹣m+）2＝（）2+（）2，解得m＝8或3（舍弃），

∴M（8，），

综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（8，）．