Question

10．如图，矩形ABCD的边AD是菱形AEDF的一条对角线，且点E在矩形ABCD的边BC上．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）直接写出当矩形边长AD与AB之间满足什么关系时，菱形AEDF为正方形．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AB=DC，∠B=∠C=90°，由菱形的性质得出AE=DE，由HL证明Rt△ABE≌Rt△DCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出BE=CE，∠AEB=∠DEC，由AD=2AB，证出△ABE是等腰直角三角形，得出∠AEB=45°，证出∠AED=90°，即可得出菱形AEDF为正方形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°，AD=BC，
∵四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；
（2）解：当AD=2AB时，菱形AEDF为正方形；理由如下：
∵Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，
∵AD=2AB，AD=BC，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，
∴∠DEC=45°，
∴∠AED=180°-45°-45°=90°，
∴菱形AEDF为正方形．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的判定、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形和菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．