Question

《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（　　）

• A、3步
• B、4步
• C、5步
• D、6步

Answer 1

分析：首先根据题意画出图，观察发现直角三角形的内切圆半径，恰好是直角三角形内三个三角形的高，因而可以通过面积S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC，这一面积相等，求得内切圆的半径．

解答：解：在Rt△ABC中，AB=15步，BC=8步，内切圆半径为r．
AC=

AB2+BC2

=

152+82

=17（勾股定理），
S△ABC=

1

2

AB•BC，
S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=

1

2

AB•r+

1

2

BC•r+

1

2

AC•r=

1

2

(AB+BC+AC)r，
∴

1

2

AB•BC=

1

2

(AB+BC+AC)r，
∴r=

AB•BC

AB+BC+AC

=

15•8

15+8+17

=3．
∴直径为6．
故选D．

点评：本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理，解决本题的关键是将求内切圆半径转化为从不同角度求Rt△ABC的面积．