Question

如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理

专题：计算题

分析：连结OD，根据等边三角形性质得PQ=PR=QR，则∠POQ=

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×360°=120°，根据圆内接等边三角形的性质有OP⊥QR，而BC∥QR，所以OP⊥BC，根据四边形ABCD是⊙O的内接正方形，则OP⊥AD，∠AOD=90°，然后根据垂径定理可得∠AOP=∠DOP=45°，再利用∠AOQ=∠POQ-∠AOP计算即可．

解答：解：连结OD，如图，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴PQ=PR=QR，
∴∠POQ=

1

3

×360°=120°，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD=90°，
∴弧AP=弧DP，
∴∠AOP=∠DOP，
∴∠AOP=

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2

×90°=45°，
∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°．
故答案为75°．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．