Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8），抛物线y=ax²+bx过A、C两点。
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E。
① 过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段EG最长？
② 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。

Answer 1

解：（1）点A的坐标为（4，8），
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax²+bx，
得
解得a=-，b=4，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x；
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=，即，
∴PE=AP=t，PB=8-t，
∴点E的坐标为（4+t，8-t）
∴点G的纵坐标为-，
∴EG=-，
∵-＜0，
∴当=4时，线段EG最长为2；
②共有三个时刻，
t₁=，t₂=，t₃=40-。