Question

【题目】如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtABC和 RtBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

(1)写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”，必有实数根；

(3)若 x 1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求ABC 的面积．

Answer 1

【答案】（1）(答案不唯一)（2）见解析（3）1.

【解析】

（1）直接找一组勾股数代入方程即可；

（2）根据根的判别式即可求解；

（3）根据方程的解代入求出a,b,c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.

（1）当a=3,b=4,c=5时，

勾系一元二次方程为；

（2）依题意得△=（）2-4ab=2c2-4ab,

∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，

即△≥0，故方程必有实数根；

（3）把x=-1代入得a+b=c

∵四边形 ACDE 的周长是6，

即2(a+b)+ c=6，故得到c=2，

∴a2+b2=4，a+b=2

∵(a+b)2= a2+b2+2ab

∴ab=2,

故ABC 的面积为ab=1.